Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$．
（Ⅰ）证明：a、c、b成等差数列；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列； 
（Ⅱ）由余弦定理及a+b=2c，可得$cosC=\frac{{3{c^2}-2ab}}{2ab}=\frac{{3{c^2}}}{2ab}-1$，利用基本不等式可得$\frac{{3{c^2}}}{2ab}≥\frac{3}{2}$，进而可解得cosC的最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2（tanA+tanB）=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$，
∴$2（{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}）=\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$，
∴$\frac{2（sinAcosB+cosAsinB）}{cosAcosB}$=$\frac{sinA+sinB}{cosAcosB}$，…（2分）
即2sin（A+B）=sinA+sinB，
又∵A+B=π-C，
∴2sinC=sinA+sinB，…（4分）
由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差数列； …（6分）
（Ⅱ）由余弦定理得，$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{{{（a+b）}^2}-2ab-{c^2}}}{2ab}$，…（8分）
∵a+b=2c，
∴$cosC=\frac{{3{c^2}-2ab}}{2ab}=\frac{{3{c^2}}}{2ab}-1$，
又∵$0＜ab≤{（{\frac{a+b}{2}}）^2}={c^2}$，
∴$\frac{{3{c^2}}}{2ab}≥\frac{3}{2}$，…（10分）
即$\frac{{3{c^2}}}{2ab}-1≥\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$．
所以cosC的最小值为$\frac{1}{2}$．    …（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．