题目内容

7．烟台水果以“栖霞苹果、莱阳梨、福山大樱桃”闻名，现从市农科院培育的樱桃树苗中随机抽取100棵作为样本，测得这些树苗的株高（单位：cm）并绘制频率分布直方图如图所示
（1）由频率分布直方图可认为，这些樱桃树树苗的株高X服从正态分布
N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数$\overline{x}$，σ近似为样本方差s2，利用该正态分布，求P（79.5＜X＜104.5）
（2）某果农买了20棵这种櫻桃树苗，记ξ表示这20棵树苗株高位于区间（79.5 104.5）的棵数，利用（1）的结果，求Eξ（结果保留整数）
（3）若株高位于区间（79.5，104.5）的树苗视为“优良”，并以（2）中的Eξ为“优良”棵数．从这20棵树苗中任取3棵，记η为“优良”的棵数，求η的分布列和数学期望．
附：$\sqrt{39}$≈6.25，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9545．

分析 （1）由频率分布直方图求出樱桃树树苗的株高的平均数和方差，从而得到X～N（92，156），由此能求出P（79.5＜X＜104.5）．
（2）由题意知 ξ～B（20，0.6827），由此能求出Eξ．
（3）20棵树苗中“优良”的棵数为14，η的所有取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和Eη．

解答 解：（1）由频率分布直方图得：
$\overline{x}$=70×0.1+80×0.15+90×0.4+100×0.2+110×0.1+×0.05=92，
S2=222×0.1+122×0.15+22×0.4+82×0.2+182×0.1+282×0.05=156，
∴X～N（92，156），
∴P（79.5＜X＜104.5）=P（92-12.5＜X＜92+12.5）=0.6827．
（2）由题意知 ξ～B（20，0.6827），
∴Eξ=20×0.6827=13.654≈14．
（3）由（2）可知20棵树苗中“优良”的棵数为14，
则η的所有取值为0，1，2，3，
P（η=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{14}^{0}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{20}{1140}$，
P（η=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{14}^{1}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{210}{1140}$，
P（η=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{14}^{2}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{546}{1140}$，
P（η=3）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{14}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{364}{1140}$，
∴η的分布列为：

 η 0 1 2 3
 P $\frac{20}{1140}$ $\frac{210}{1140}$ $\frac{546}{1140}$ $\frac{364}{1140}$
Eη=$\frac{20}{1140}×0+\frac{210}{1140}×1+\frac{546}{1140}×2+\frac{364}{1140}×3$=$\frac{21}{10}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

练习册系列答案
相关题目
10．若O与F1，F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心和左、右焦点，过O做直线交椭圆C于P，Q两点，若|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值是4，△PF1F2的周长是4+2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不过点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，满足直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．
18．已知集合A={0，5，10}，集合B={a+2，a2+1}，且A∩B={5}，则满足条件的实数a的个数有（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．近年来，全国各地数城市污染严重，为了提出有效的整治方案，将探究车流量与PM2.5的浓度的关系，现采集到某城市2017年4月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期七
车流量x（万辆）1234567
PM2.5的浓度y（微克/立方米）28303541495662
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）①利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度；
②规定：当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良．为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内？（结果以万辆为单位，保留整数）
参考公式：回归直线的方程是$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$，其中$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
提示：$\sum_{i=1}^{7}{x}_{i}{y}_{i}$=1372．
2．若复数$\frac{m+2i}{1-i}$为实数（i为虚数单位），则实数m等于（　　）
A．1B．2C．-1D．-2
12．设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩（∁UB）=（　　）
A．{x|1＜x＜3}B．{x|1≤x＜3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1≤x≤3}
19．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b+acosC=0，sinA=2sin（A+C），则$\frac{c}{a}$的值为（　　）
A．$\frac{\sqrt{7}}{2}$B．$\frac{\sqrt{7}}{3}$C．$\frac{\sqrt{5}}{2}$D．$\frac{\sqrt{5}}{3}$
16．下面几种推理是类比推理的是（　　）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°
B．一切偶数都能被2整除，2100是偶数，所以2100能被2整除
C．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质
D．某校高二级有20班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员
17．已知等差数列{an}满足a1=1，a4=4；数列{bn}满足b1=a2，b2=a5，数列{bn-an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网