Question

学校组织5名学生参加区级田赛运动会，规定每人在跳高、跳远、铅球3个项目中
任选一项，假设5名学生选择哪个项目是等可能的．
（Ⅰ）求3个项目都有人选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个项目有人选择的概率．

Answer 1

分析：根据题意，5名学生选择3个项目可能出现的结果数为3⁵，
（1）记“3个项目都有人选择”为事件A₁，计算事件A₁包含出现的结果数，由古典概型公式，计算可得答案；
（Ⅱ）记“5人都选择同一个项目”和“恰有2个项目有人选择”分别为事件A₂和A₃，易得事件A₂的概率，进而由事件之间的关系，计算可得答案．

解答：解：5名学生选择3个项目可能出现的结果数为3⁵，由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．
（Ⅰ）3个项目都有人选择，可能出现的结果数为3C₅³C₂¹C₁¹+3C₅²C₃²C₁¹；
记“3个项目都有人选择”为事件A₁，那么事件A₁的概率为P（A₁）=

3 C 3 5 C 1 2 C 1 1 +3 C 2 5 C 2 3 C 1 1

35

=

50

81

，
答：3个项目都有人选择的概率为

50

81

．（7分）
（Ⅱ）记“5人都选择同一个项目”和“恰有2个项目有人选择”分别为事件A₂和A₃，
则事件A₂的概率为P（A₂）=

3

35

=

1

81

，
事件A₃的概率为P（A₃）=1-P（A₁）-P（A₂）=1-

50

81

-

1

81

=

10

27

，
答：恰有2个项目有人选择的概率为

10

27

．（13分）

点评：本题考查排列、组合的综合运用与概率的计算，关键在于利用组合数公式计算事件包括的情况的数目．