Question

8．已知三棱锥S-ABC的四个顶点均落在球O的表面上，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，$SA=BC=\frac{1}{2}AB=1$，则球O的体积与表面积的比值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，三棱锥S-ABC扩展为正方体，正方体的外接球的球心就是正方体体对角线的中点，求出正方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S-ABC的外接球的表面积、体积，即可得出结论．

解答 解：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又$SA=BC=\frac{1}{2}AB=1$，三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，
∴球的半径R=$\frac{1}{2}\sqrt{4+1+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
球O的体积$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π，
球的表面积为：4πR²=4π•（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π，
∴球O的体积与表面积的比值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：A．．

点评 本题考查三棱锥S-ABC的外接球的表面积、体积，解题的关键是确定三棱锥S-ABC的外接球的球心与半径．