Question

17．在△ABC中，已知sinA=$\frac{3}{5}$，sinA+cosA＜0，a=3$\sqrt{5}$，c=5．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得到cosA小于0，根据sinA的值求出cosA的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA，a，c的值代入求出b的值．
（Ⅱ）利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答 解：（Ⅰ）因为sinA+cosA＜0，且$sinA=\frac{3}{5}$，
故$cosA=-\sqrt{1-{{sin}^2}A}=-\frac{4}{5}$；
又$a=3\sqrt{5}$，c=5，
在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得${（3\sqrt{5}）^2}={5^2}+{b^2}-2×5×b×（-\frac{4}{5}）$，即b²+8b-20=0，
解得b=2或b=-10（舍去）．
故b=2．
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×2×$\frac{3}{5}$=3．
∴△ABC的面积为3．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．