题目内容

已知函数 $数学公式$ 是偶函数．
（1）求k的值
（2）若函数y=f（x）的图象与直线 $数学公式$ 没有交点，求实数b的取值范围．

解：（1）因为y=f（x）为偶函数，
所以?x∈R，f（-x）=f（-x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx对于?x∈R恒成立．
即 $\text{[math]}$ 恒成立
∴（2k+1）x=0恒成立，
∵x不恒为零，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由题意知方程 $\text{[math]}$ ，即方程log₉（9^x+1）-x=b无解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．
因为 $\text{[math]}$
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ．
于是 $\text{[math]}$ ，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是单调减函数．
因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
所以b的取值范围是（-∞，0]．
分析：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；
（2）函数y=f（x）的图象与直线 $\text{[math]}$ 没有交点，即 $\text{[math]}$ 无解，从而方程log₉（9^x+1）-x=b无解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，则函数y=g（x）的图象与直线y=b无交点．可以验证g（x）为减函数，从而得到g（x）＞0，进而可求实数b的取值范围．
点评：本题重点考查函数的性质，考查函数与方程的关系，解题的关键是正确运用偶函数的定义，合理将问题进行等价转化．