Question

10．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的图象与直线3x+3y-8=0相切于点（2，f（2））．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）区间[-2，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx求导，利用函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的图象与直线3x+3y-8=0相切于点（2，f（2）），联立方程组计算即得结论；
（2）通过（1）可知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，进而可知函数g（x）=f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）的图象是开口向上、对称轴为x=2的抛物线，利用f（x）在区间[-2，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，计算即得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx，
∴f′（x）=x²-2ax+b，
又∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+bx的图象与直线3x+3y-8=0相切于点（2，f（2）），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）={2}^{2}-4a+b=-1}\\{f（2）=\frac{8}{3}-4a+2b=\frac{8-3×2}{3}}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-b=5}\\{2a-b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
∵函数g（x）=f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）的图象是开口向上、对称轴为x=2的抛物线，
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时g（x）＞0，当x∈（1，3）时g（x）＜0，
∴f（x）在区间[-2，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，
又∵f（-2）=$\frac{1}{3}$×（-8）-2×4+3×（-2）=-$\frac{50}{3}$，f（1）=$\frac{1}{3}$-2+3=$\frac{4}{3}$，f（2）=$\frac{1}{3}$×8-2×4+3×2=$\frac{2}{3}$，
∴函数f（x）区间[-2，2]的最大值为$\frac{4}{3}$，最小值为-$\frac{50}{3}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．