Question

要制作一个如图的框架(单位：m)，要求所围成的总面积为19.5(m2)，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h＝AB，tan∠FED＝，设AB＝x m，BC＝y m.

(1) 求y关于x的表达式；

(2) 如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

 

 

Answer 1

（1）y＝ x，（2）AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架用材料最少．

【解析】

试题分析：（1）解实际问题应用题，关键在于正确理解题意，正确列出等量关系. 在等腰梯形CDEF中，高DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x，∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，∴ y＝ x.求函数解析式不要忘记交代定义域，∵ x＞0，y＞0，∴ x＞0，解之得0＜x＜.（2）所用材料就是计算周长，在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，∴ DE＝＝x×＝x，∴ l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x ＝ x＋6x＝＋x，由基本不等式＋x≥2＝26，当且仅当＝x，即x2＝9，即x＝3时取等号，此时AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架用材料最少．

 

【解析】
(1) 如图，在等腰梯形CDEF中，DH是高．

依题意：DH＝AB＝x，EH＝＝×x＝x， (3分)

∴ ＝xy＋x＝xy＋x2，

∴ y＝ x. (5分)

∵ x＞0，y＞0，

∴ x＞0，解之得0＜x＜.

∴ 所求表达式为y＝ x. 7分（没有定义域扣2分）

(2) 在Rt△DEH中，∵ tan∠FED＝，∴ sin∠FED＝，

∴ DE＝＝x×＝x， 9分

∴ l＝(2x＋2y)＋2×x＋＝2y＋6x 10分

＝ x＋6x＝＋x≥2＝26， 13分

当且仅当＝x，即x2＝9，即x＝3时取等号， 15分

此时y＝ x＝4，

∴ AB＝3 m，BC＝4 m时，能使整个框架用材料最少． 16分

考点：基本不等式求最值