Question

13．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：sinθ=ρcos²θ，过点M（-1，2）的直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C相交于A、B两点．求：
（1）线段AB的长度；
（2）点M（-1，2）到A、B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）由极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程，代入直线的参数方程，运用韦达定理，可得|AB|=|t₁-t₂|，化简整理即可得到所求值；
（2）由参数的几何意义，可得所求之积为|t₁t₂|．

解答 解：（1）由sinθ=ρcos²θ，可得ρsinθ=ρ²cos²θ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y=x²，
代入$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），可得t²+$\sqrt{2}$t-2=0，
即有t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁t₂=-2．
由参数t的几何意义可得|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{2-4×（-2）}$=$\sqrt{10}$；
（2）由（1）可得点M（-1，2）到A、B两点的距离之积
为|t₁t₂|=|-2|=2．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用极坐标和直角坐标的关系，考查直线的参数方程的运用，注意结合韦达定理，运用参数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题．