Question

20．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，再由AD⊥CD，利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD，从而得到平面PDC⊥平面PAD；
（2）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系o-xyz．求出A，C，E的坐标，进一步求出平面AEC与平面ACD的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AC-D的余弦值．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵AD⊥CD且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又∵AB⊥AD，
∴分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系o-xyz．
则A（0，0，0），C（2，4，0），E（0，2，1），
$\overrightarrow{AC}=（2，4，0）$，$\overrightarrow{AE}=（0，2，1）$，
设平面AEC的一个法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow{m}=（-2，1，-2）$．
又∵平面ACD的一个法向量$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{3×1}=-\frac{2}{3}$．
又二面角E-AC-D为锐二面角，
∴二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．