Question

18．（理科学生做）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，BC=CC′=2，求
（1）直线B′D与BC′所成角的大小；
（2）二面角A-B′D-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立坐标系，证明$\overrightarrow{B′D}$•$\overrightarrow{BC′}$=4+0-4=0，可得$\overrightarrow{B′D}$⊥$\overrightarrow{BC′}$，即可求出直线B′D与BC′所成角的大小；
（2）求出平面AB′D的法向量、平面B′DC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角A-B′D-C的余弦值．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），B′（2，4，2），C′（0，4，2），
∴$\overrightarrow{B′D}$=（-2，-4，-2），$\overrightarrow{BC′}$=（-2，0，2），
∴$\overrightarrow{B′D}$•$\overrightarrow{BC′}$=4+0-4=0，
∴$\overrightarrow{B′D}$⊥$\overrightarrow{BC′}$，
∴直线B′D与BC′所成角的大小为90°；
（2）由（1）$\overrightarrow{B′D}$=（-2，-4，-2），$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，4，0），
设平面AB′D的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{-2x-4y-2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，1，-2），
同理平面B′DC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
∴由图形得二面角A-B′D-C的余弦值=-$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查空间角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．