Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=2，设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$，当x=B时，f（x）取最大值，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理即可得出；
（II）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=$sin（x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，再利用三角函数的单调性与值域可得B，进而得出三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵b²+c²-a²=bc，
由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA  可得cosA=$\frac{1}{2}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}$=$sin（x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
当x=B时，f（B）=$sin（B+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
∵A=$\frac{π}{3}$，∴B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$\frac{π}{6}$＜$B+\frac{π}{6}$$＜\frac{5π}{6}$，
∴当B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，即B=$\frac{π}{3}$时，f（B）有最大值是$\frac{3}{2}$．
又∵A=$\frac{π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC为等边三角形．
∴S=$\frac{1}{2}{a^2}sin\frac{π}{3}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、倍角公式、和差公式、三角函数的单调性与值域、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．