Question

3．某中学高一年级进行学生性别与科目偏向问卷调查，共收回56份问卷，下面是2×2列联表：

	男生	女生	合计
偏理科	28	16	44
偏文科	4	8	12
合计	32	24	56

（1）有多大把握认为科目偏向与性别有关？
（2）如果按分层抽样的方法选取14人，又在这14人中选取2人进行面对面交流，求选中的2人恰好都偏文科的概率；
（3）在（2）的条件下，求一次选出的2人中男生人数X的分布列及期望．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）求出K²=3.535＞2.706，从而有90%的把握认为科目偏向与性别有关．
（2）按分层抽样的方法选出14人，偏理科的人数为$\frac{14}{56}×44=11$，偏文科的人数为$\frac{14}{56}×12=3$．由此利用组合知识可以求出概率．
（3）按分层抽样的方法选出14人，男生人数为$\frac{14}{56}×32=8$，女生人数为$\frac{14}{56}×24=6$．设一次选出2人中选到男生人数为X，则X所有可能的取值为0，1，2．求出相应的概率，即可求一次选出的2人中男生人数X的分布列及期望．

解答 解：（1）${k^2}=\frac{{56{{（{28×8-16×4}）}^2}}}{44×12×32×24}=3，535＞2.706$．所以有90%的把握认为科目偏向与性别有关．
（2）按分层抽样的方法选出14人，偏理科的人数为$\frac{14}{56}×44=11$，偏文科的人数为$\frac{14}{56}×12=3$．
记“在这14人中选2人偏文科”为事件A．则$P（A）=\frac{C_3^2}{{C_{14}^2}}=\frac{3}{91}$．
（3）按分层抽样的方法选出14人，男生人数为$\frac{14}{56}×32=8$，女生人数为$\frac{14}{56}×24=6$．
设一次选出2人中选到男生人数为X，则X所有可能的取值为0，1，2.$P（{X=0}）=\frac{C_8^0C_6^2}{{C_{14}^2}}=\frac{15}{91}，P（{X=1}）=\frac{C_8^1C_6^1}{{C_{14}^2}}=\frac{48}{91}，P（{X=2}）=\frac{C_8^2C_6^0}{{C_{14}^2}}=\frac{28}{91}$，
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{15}{91}$	$\frac{48}{91}$	$\frac{28}{91}$

X的数学期望$E（X）=0×\frac{15}{91}+1×\frac{48}{91}+2×\frac{28}{91}=\frac{104}{91}≈1.14$．

点评 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查分布列及期望，正确求出概率是关键．