Question

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ为参数），若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t为常数）
（1）求曲线M和N的直角坐标方程；
（2）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的参数方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把参数方程利用同角三角函数的基本关系化为直角坐标方程，根据极坐标和直角坐标的互化公式把极坐标方程化为直角坐标方程．
（2）当直线N过点A（

2

，1）时满足要求，此时t=

2

+1．当直线N过点B（-

2

，1）时，此时t=-

2

+1．当直线和抛物线相切时，联立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=0求得t=-

5

4

．数形结合求得t的取值范围．

解答：解：（1）x²=（sin θ+cos θ）²=1+sin 2θ，
所以曲线M可化为y=x²-1，x∈[-

2

，

2

]，表示一段抛物线．
由ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t得

2

2

ρsin θ+

2

2

ρcos θ=

2

2

t，
∴ρsin θ+ρcos θ=t，
所以曲线N可化为x+y=t，表示一条直线．
（2）若曲线M，N只有一个公共点，
则当直线N过点A（

2

，1）时满足要求，此时t=

2

+1，
并且向左下方平行运动直到过点（-

2

，1）之前，
总是保持只有一个公共点．
当直线N过点B（-

2

，1）时，此时t=-

2

+1，所以-

2

+1＜t≤

2

+1满足要求．
再接着从过点（-

2

，1）开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，
相切时仍然只有一个公共点．
联立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=1+4（1+t）=0，解得t=-

5

4

，
综上可求得t的取值范围是-

2

+1＜t≤

2

+1，或t=-

5

4

．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．