Question

2．在数列{a_n}中，设S₁=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n，S₂=a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_2n，S₃=a_2n+1+a_2n+3+…+a_3n
（1）如果{a_n}是以d为公差的等差数列，求证S₁，S₂，S₃也是等差数列，并求其公差；
（2）如果{a_n}是以q为公比的等比数列，求证S₁，S₂，S₃也是等比数列，并求其公比．

Answer 1

分析 （1）由题意分别写出等差数列的第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和，再由等差数列的定义证明S₁，S₂，S₃也是等差数列，并求其公差；
（2）由题意分别写出等比数列的第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和，再由等比数列的定义证明S₁，S₂，S₃也是等比数列，并求其公比．

解答 证明：（1）∵{a_n}是以d为公差的等差数列，
∴${S}_{1}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，${S}_{2}=n{a}_{n+1}+\frac{n（n-1）d}{2}=n（{a}_{1}+nd）+\frac{n（n-1）d}{2}$，${S}_{3}=n{a}_{2n+1}+\frac{n（n-1）d}{2}=n（{a}_{1}+2nd）+\frac{n（n-1）d}{2}$．
则${S}_{2}-{S}_{1}={n}^{2}d$，${S}_{3}-{S}_{2}={n}^{2}d$，∴${S}_{2}-{S}_{1}={S}_{3}-{S}_{2}={n}^{2}d$．
即S₁，S₂，S₃也是等差数列，其公差为n²d；
（2）∵{a_n}是以q为公比的等比数列，
若q=1，则S₁=na₁，S₂=na₁，S₃=na₁，∴S₁，S₂，S₃也是等比数列，其公比为1；
若q≠1，则${S}_{1}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，${S}_{2}=\frac{{a}_{n+1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}{q}^{n}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，${S}_{3}=\frac{{a}_{2n+1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}{q}^{2n}（1-{q}^{n}）}{1-q}$．
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}={q}^{n}，\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}={q}^{n}$，
∴S₁，S₂，S₃也是等比数列，其公比为qⁿ，
综上S₁，S₂，S₃也是等比数列，其公比为qⁿ．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的性质，是中档题．