Question

函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，且f（x）是奇函数，则对任意实数a，下列不等式成立的是（　　）

• A、F(-

  3

  4

  )≤F(a2-a+1)
• B、F(-

  3

  4

  )≥F(a2-a+1)
• C、F(-

  3

  4

  )＜F(a2-a+1)
• D、F(-

  3

  4

  )＞F(a2-a+1)

Answer 1

分析：首先判断出F（x）的是偶函数，然后根据函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，则知函数F（x）=xf（x）x∈R，在（0，+∞）上是增函数，再比较

3

4

和a²-a+1的大小，根据函数的单调性即可得到答案．

解答：解：∵y=x是奇函数，f（x）是奇函数，
∴函数F（x）=xf（x）是偶函数，
∴F（-

3

4

）=F（

3

4

），
∵函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（-∞，0）上是减函数，
∴函数F（x）=xf（x）（x∈R）在（0，+∞）上是增函数，
∵a²-a+1=(a-

1

4

)2+

3

4

≥

3

4

，
∴F(

3

4

)≤F（a²-a+1），
∵F（-

3

4

）=F（

3

4

），
∴F（-

3

4

）≤F（a²-a+1），
故选A．

点评：本题主要考查奇函数和函数单调性的应用的知识，解答本题的关键是能判断出函数F（x）的奇偶性，本题难度一般．