Question

一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程.

温度x/℃	21	23	25	27	29	32	35
产卵数y/个	7	11	21	24	66	115	325

Answer 1

思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.

    在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.

解：散点图如下所示:

    由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe^qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.

由题中所给数据经变换后得到如下的数据表及相应的散点图.

x	21	23	25	27	29	32	35
z	1.946	2.398	3.045	3.178	4.190	4.745	5.784

    由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.

    经过计算得到线性回归方程为=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为=e^{0.272x－3.843}.

方法归纳  线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.