Question

18．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．若AC⊥BD，求证：四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理可得：四边形EFGH是平行四边形．由EH∥BD，EF∥AC，BD⊥AC，可得EF⊥EH．即可证明平行四边形EFGH是矩形．

解答 证明：∵E、F分别是空间四边形四条边AB、BC的中点，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC．
同理可得GH∥AC．∴EF∥GH，EF=$\frac{1}{2}$GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
可得EH∥BD，又BD⊥AC，
∴EF⊥EH．
∴平行四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定定理、异面直线所成的角，考查了推理能力，属于基础题．