题目内容

定义在R上的函数取得极值且函数的图像关于原点成中心对称，

   （1）求的解析式；

   （2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；

解：（Ⅰ）函数的图像关于原点对称，  ∴，

∴恒成立

∴b=d=0   ∴  

∵当x=－1时取极大值为

∴

∴ 

（Ⅱ）方法一：

∵恒成立，

∴恒成立 

令   则△=m2－12

（i）当△=m2－12≤0时  ∴

（ii）当△=m2－12>0时，则

不等式组无解 

∴综合（i）（ii）得    

方法二：由恒成立，

得：恒成立

当x=0时，不等式恒成立

当 不等式转化为 恒成立  ①

而，  ∴要①式恒成立，则

当x>0时，不等式转化为  ②，而

∴要②恒成立，则 

综合上述得到 

练习册系列答案
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已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．
设定义在R上的函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，a0，a1，a2，a3，a4∈R，当x=-1时，f（x）取得极大值
2
3
，且函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-
2
，
2
]上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设xn=
2n-1
2n
，  ym=
2
(1-3m)
3m
(m，n∈N*)，求证：|f(xn)-f(ym)|＜
4
3
．
设定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：①函数f（x）的图象过点P（3，-6）；②函数f（x）在x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4；③函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若α，β∈R，求证：|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤
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；
（3）求过点P（3，-6）与函数f（x）的图象相切的直线方程．
定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x+2）的图象关于点（-2，0）对称；函数f（x）的图象过点P（3，-6）；函数f（x）在点x1，x2处取得极值，且|x1-x2|=4．
（1）求f（x）表达式；
（2）求曲线y=f（x）在点P处的切线方程；
（3）求证：?α、β∈R，-
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3
≤f(2cosα)-f(2sinβ)≤
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3
．

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