Question

18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如表：

每组员工编号	1	2	3	4	5
甲组	a	5	7	9	b
乙组	5	6	7	8	9

已知甲组技工在单位时间内完成合格零件的平均数与方差分别为7与5.2，且a＜b
（1）求a，b的值，并直接指出哪一组技工的技术水平的稳定性更好；
（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．

Answer 1

分析 （1）由表中数据我们易求出两组数据的平均数，代入方差公式后，即可求出a，b的值，再比较哪一组技工的技术水平的稳定性更好．
（2）要计算该车间“质量合格”的概率，我们要先求出从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件总个数，再求出该车间“质量合格”包含的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可求出答案．

解答 解：（1）由甲组技工在单位时间内完成合格零件的平均数与方差分别为7与5.2，得$\left\{\begin{array}{l}\frac{a+5+7+9+b}{5}=7\\ \frac{{{{（a-7）}^2}+{{（5-7）}^2}+{{（7-7）}^2}+{{（9-7）}^2}+{{（b-7）}^2}}}{5}=5.2\end{array}\right.$…（2分）
即$\left\{\begin{array}{l}a+b=14\\{（a-7）^2}+{（b-7）^2}=18\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=10\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=10\\ b=4\end{array}\right.$
又a＜b，
故a的值为4，b的值为10，…（5分）
且乙组技工的技术水平的稳定性更好．…（7分）
（2）设事件 A表示：该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，5），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（7，5），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共25种．…（9分）
事件 A包含的基本事件为（4，9），（5，8），（5，9），（7，6），（7，7），（7，8），（7，9），（9，5），（9，6），（9，7），（9，8），（9，9），（10，5），（10，6），（10，7），（10，8），（10，9）共17种．…（10分）
∴${P}（{A}）=\frac{17}{25}$．即该车间“质量合格”的概率为$\frac{17}{25}$．…（12分）

点评 本题主要考查在实际背景下，将统计与概率相结合，考查了样本的平均数与方差的计算，以及求随机事件的概率，考查了归纳推理、应用数学知识解决实际问题的能力．