题目内容
16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）+xf（x）=sinx，x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是④①xf（x）在（0，6）单调递减
②xf（x）在（0，6）单调递增
③xf（x）在（0，6）上有极小值2π
④xf（x）在（0，6）上有极大值2π
分析 设g（x）=xf（x），得到g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出答案．
解答 解：∵x2f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{sinx}{x}$，
设g（x）=xf（x），则g′（x）=[xf（x）]′=$\frac{sinx}{x}$，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜π，g′（x）＜0，解得：π＜x＜6，
∴x=π时，函数g（x）=xf（x）取得最大值g（π）=πf（π）=2π，
故④正确，
故答案为：④．
点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=xf（x）是解题的关键，本题是一道中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{12}$ |
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| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$ | C． | $2\sqrt{2}$ | D． | 2或4 |