Question

2．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=BB₁，D是CC₁中点，则CA₁与BD所成角的大小是$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，画出图形，通过作平行线得到所求角的平面角，利用余弦定理求大小．

解答 解：如图过D作DE∥CA₁交A₁C₁于E，
则E是A₁C₁的中点，连接BE，
则∠BDE为CA₁与BD所成角，
设AB=2，则BD=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{2}$，B₁E=$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{{{BB}_{1}}^{2}+{B}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
在△BDE中，cos∠BDE=$\frac{{DE}^{2}+{BD}^{2}-{BE}^{2}}{2DE•BD}$=0，
所以∠BDE=$\frac{π}{2}$；
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了正三棱柱的性质以及异面直线所成的角的求法；关键是找到平面角，利用余弦定理求值．