Question

16．已知直线y=ex+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为$\frac{3}{e}$．

Answer 1

分析 切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．

解答 解：设切点P（x₀，y₀），则y₀=ex₀+1，y₀=ln（x₀+a），
又∵$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}+a}$=e
∴x₀+a=$\frac{1}{e}$，x₀=$\frac{1}{e}-a$，
x₀=$\frac{1}{e}-a$，代入y₀=ln（x₀+a），
∴y₀=-1，
y₀=-1代入y₀=ex₀+1，
解得x₀=-$\frac{2}{e}$，
x₀=-$\frac{2}{e}$代入x₀+a=$\frac{1}{e}$，
∴a=$\frac{3}{e}$．
故答案为：$\frac{3}{e}$．

点评 本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线方程，考查计算能力．