Question

福布斯2009年中国富豪榜发布后，有人认为中国富豪受益于活跃的股票市场，得益于强劲的资本市场．股票有风险应考虑中长期投资，若某股票上市时间能持续15年，预测上市初期和后期会因供求及市场前景分析使价格呈连续上涨态势，而中期有将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格随发行年数x的模拟函数：（A）f（x）=p-q^x；（B）f（x）=log_qx+p；（C）f（x）=（x-1）（x-q）²+p（以上三式中p，q均为常数，且q＞2）．
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数？为什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6 ①求出所选函数f（x）的解析式；②一般散户为保证个人的收益，通常考虑打算在价格下跌期间出股票，请问他们会在哪几个年份出售？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）判断A，B是单调函数；C有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，即可得出结论；
（2）求出p=4，q=4，可得函数解析式，求导数，即可得出结论．

解答： 解：（1）因为f（x）=p-q^x是单调函数；f（x）=log_qx+p也是单调函数；
在f（x）=（x-1）（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-（4q+2）x+q²+2q
令f′（x）=0，可得x=q或x=

q+2

3

，
所以函数f（x）有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，
所以因选f（x）=（x-1）（x-q）²+p为其价格模拟函数．…（6分）
（2）由f（1）=4，f（3）=6，可得p=4，q=4（其中q=2舍去），
所以f（x）=x³-9x²+24x-12（1≤x≤15，x∈N₊），
所以f′（x）=3x²-18x+24＜0，
所以f（x）在区间（2，4）上单调递减．
故他们会在发行的第2，3年出售．…（13分）

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．