Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（-2，1），则直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由椭圆的离心率可得a，b的关系，得到椭圆方程为x²+4y²=4b²，设出A，B的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴a²=4b²，则椭圆方程为x²+4y²=4b²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
把A，B的坐标代入椭圆方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4{b}^{2}①}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4{b}^{2}②}\end{array}\right.$，
①-②得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-4（y₁-y₂）（y₁+y₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{-4}{4×2}=\frac{1}{2}$．
∴直线l的斜率为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题．