Question

8．若函数f（x）=x²-2ax+3为定义在[-2，2]上的函数．
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值．
（2）若f（x）的最大值为M，最小值为m，函数g（a）=M-m，求g（a）的解析式，并求其最小值．

Answer 1

分析 （1）求一元二次函数的最大值与最小值首要判断对称轴是否在给定区间内；
（2）需要分类讨论对称轴是否在给定区间内，然后分别求出在各个区间内的最大值与最小值；

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x+3；
f（x）的对称轴为：x=1；
对称轴x=1在区间[-2，2]内，
故 f（x）的最小值为f（1）=2，最大值为f（-2）=11．
（2）f（x）的对称轴为：x=a；
当a≥2时，f（x）在[-2，2]上为减函数
∴M=f（-2）=7+4a，m=7-4a；
∴g（a）=8a
当a≤-2时，f（x）在[-2，2]上为增函数
∴M=f（1）=7-4a，m=f（2）=7+4a
∴g（a）=M-m=-8a
当-2＜a≤0时，M=f（2）=7-4a，m=f（a）=a²-2a²+3=-a²+3
∴g（a）=M-m=a²-4a+4；
当0＜a＜2时，M=f（-2）=7+4a，m=f（a）=-a²+3
∴g（a）=M-m=a²+4a+4；
所以，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-8a，a≤2}\\{{a}^{2}-4a+4，-2＜a≤0}\\{{a}^{2}+4a+4，0＜a＜2}\\{8a，a≥2}\end{array}\right.$
∴g（a）的最小值为4．

点评 本题主要考查了一元二次函数在给定区间的最大值与最小值问题，属常规题型，考生应熟练掌握．