Question

12．已知定点A（1，0），动点P在圆B：（x+1）²+y²=16上，线段PA的中垂线为直线l，直线l交直线PB于点Q，动点Q的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若点P在第二象限，且相应的直线l与曲线E和抛物线C：y=-$\frac{1}{32}$x²都相切，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用垂直平分线的性质可得|QA|=|QP|，由|QB|+|QP|=4，可得|QB|+|QA|=4，利用椭圆的定义可得点Q的轨迹是一个椭圆；
（Ⅱ）设l：y=kx+m代入椭圆、抛物线的方程，利用判别式等于0，A与P关于直线l对称，即可求点P的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由条件知：|QA|=|QP|，
∵|QB|+|QP|=4，
∴|QB|+|QA|=4，
∵|AB|=2＜4，
所以点Q的轨迹是以B，A为焦点的椭圆，
∵2a=4，2c=2，∴b²=3，
∴曲线E的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由题意，设l：y=kx+m①，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1得（4k²+3）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
∴△₁=（8km）-4（4k²+3）×4（m²-3）=0，
∴4k²-m²+3=0②
把①代入：y=-$\frac{1}{32}$x²，得：$\frac{1}{32}$x²+kx+m=0，
由△₂=${k}^{2}-4×\frac{1}{32}×m$=0，得m=8k²③＞
由②③解得k=±$\frac{1}{2}$，m=2．
设P（x₀，y₀），则x₀＜0，y₀＞0
∵A与P关于直线l对称，k_AP＜0，
∴k＞0，∴k=$\frac{1}{2}$，
∴l：y=$\frac{1}{2}$x+2，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}}{2}=\frac{1}{2}×\frac{{x}_{0}+1}{2}+2}\\{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}×\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，∴x₀=-1，y₀=4，
经检验P（-1，4）在圆C上．
故所求点P的坐标为P（-1，4）．

点评 本题综合考查了圆与椭圆的定义及其标准方程、线段的垂直平分线、直线与椭圆、抛物线相切等基础知识与基本技能，考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力．