Question

11．令函数f（x）=x²+ax+a-$\frac{3}{a}$（a≠0）且-1≤x≤1．
（1）当a=1时，求f（x）的取值范围；
（2）对任意实数x，在-1≤x≤1内始终有f（x）≤0，求a的取值范围；
（3）当a≥2时，有实数x使得f（x）≤0．求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，函数f（x）=x²+x-2的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，结合x的取值范围及二次函数的图象和性质，可得f（x）的取值范围；
（2）若对任意实数x，在-1≤x≤1内始终有f（x）≤0，则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，解得a的取值范围；
（3）当a≥2时，函数f（x）在-1≤x≤1时为增函数，若有实数x使得f（x）≤0．则f（-1）≤0．解得a的取值范围；

解答 解：（1）当a=1时，函数f（x）=x²+x-2的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线，
∵-1≤x≤1．
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$-\frac{9}{4}$，
当x=1，函数取最大值0，
故当a=1时，f（x）∈[$-\frac{9}{4}$，0]；
（2）若对任意实数x，在-1≤x≤1内始终有f（x）≤0，
则$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}1-\frac{3}{a}≤0\\ 1+2a-\frac{3}{a}≤0\end{array}\right.$，
解得：a∈（0，1]；
（3）函数f（x）=x²+ax+a-$\frac{3}{a}$的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{a}{2}$为对称轴的抛物线，
当a≥2时，函数f（x）在-1≤x≤1时为增函数，
若有实数x使得f（x）≤0．
则f（-1）≤0．即$1-\frac{3}{a}≤0$，
解得：a∈[2，3]

点评 本题考查的知识点蝇二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．