Question

18．设定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），当x＞0时f′（x）＞1，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，且f（x）-f（-x）=2sinx，则不等式2f（x-$\frac{π}{3}$）≤sinx-$\sqrt{3}$cosx的解集为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 构造函数g（x），求出g（x）的奇偶性和单调性，问题转化为g（x-$\frac{π}{3}$）≤g（$\frac{π}{6}$），结合函数的单调性求出x的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-sinx，
则g（-x）=f（-x）-sin（-x）=f（-x）+sinx，
∵f（x）-f（-x）=2sinx，
∴g（-x）=g（x），g（x）是偶函数，
∵当x＞0时f′（x）＞1，
∴g′（x）=f′（x）-cosx＞1-cosx＞0，
∴g（x）在（0，+∞）递增，
∴g（x）在（-∞，0）递减，
∵2f（x-$\frac{π}{3}$）≤sinx-$\sqrt{3}$cosx，f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$
∴g（x-$\frac{π}{3}$）≤g（$\frac{π}{6}$），
∴|x-$\frac{π}{3}$|≤$\frac{π}{6}$，解得：$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
故不等式的解集是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故答案为：[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．