Question

如图，已知圆C：，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上.

（Ⅰ）当r=2时， 求满足条件的P点的坐标；                    

（Ⅱ）当r∈(1，+∞)时，求点N的轨迹G的方程；

（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与（Ⅱ）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解法一：

由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M(-1，0)    

设P(0，b),则由（或用勾股定理）得：   

∴ 即点P坐标为(0，)          

        解法二：

           同上可得M(-1，0) ，设N（x，y），

           则解得N（1，）

∴MN的中点P坐标为（0，）    

（Ⅱ）解一：设N(x,y)，

由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（,0）

设P（0，b）,则由（或用勾股定理）得： 

∵点P为线段MN的中点，∴,，又r>1

            ∴点N的轨迹方程为       

解法二：设N(x,y)，

同上可得M（,0），则

，消去r，又r>1   ∴点N的轨迹方程为．

（Ⅲ）由题意知直线l的斜率存在且不等于0．

设直线l的方程为y=kx+2，E(x₁,y₁), F(x₂,y₂)

由，得k²x²+(4k-4)x+4=0，

由△=-32k+16>0，得k<且.

        ∵， ∴(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂>0.

        ∴(k²+1)x₁x₂+(2k-1)(x₁+x₂)+5>0. 得k²+12k>0.  ∴k>0或k<-12.

∴0<k<或k<-12.