Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）证明：对任意，函数的图象在点处的切线恒过定点；

（Ⅲ）是否存在实数的值，使得函数在上存在最大值或最小值？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）的单调递增区间为；（2）过定点；

（3）当或时，函数在上存在最大值或最小值.

【解析】

试题分析：（1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）当时， 1分

令得：或

所以的单调递增区间为 3分

（Ⅱ） 4分

所以函数的图象在点处的切线方程为：

即： 6分

即：，由得：

所以函数的图象在点处的切线恒过定点 8分

（Ⅲ），令，

①当，即时，恒成立，

所以在上单调递增，此时在上既无最大值也无最小值. 10分

②当，即或时，

方程有两个相异实根记为，

由得的单调递增区间为，

由得的单调递减区间为 11分

，

当时，由指数函数和二次函数性质知

所以函数不存在最大值. 12分

当时，，

由指数函数和二次函数性质知，

法一、

所以当且仅当，即时，函数在上才有最小值. 13分

由得：，

由韦达定理得：，化简得：，

解得：或.

综上得：当或时，函数在上存在最大值或最小值. 15分

法二、由指数函数和二次函数性质知， （接上）

所以当且仅当有解时，在上存在最小值.

即：在上有解，

由解得：或

综上得：当或时，函数在上存在最大值或最小值. 15分

考点：（1）求函数的单调区间；（2）求曲线的切线方程；（3）求函数的最值.