Question

18．已知两个集合A，B，满足B⊆A．若对任意的x∈A，存在a_i，a_j∈B（i≠j），使得x=λ₁a_i+λ₂a_j（λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），则称B为A的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B元素个数的最小值是3．

Answer 1

分析 设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，计算出b=λ₁a_i+λ₂a_j的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得m+m+C_m²+C_m²≥n，即m（m+1）≥n．可知m（m+1）≥10，即可得出结论，

解答 解：不妨设a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，则
形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数共有m个；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整数共有m个；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C_m²个；
形如-1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整数至多有C_m²个．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底．
故m+m+C_m²+C_m²≥n，即m（m+1）≥n，
A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．
故答案为3．

点评 本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数解的讨论和两个计数原理等知识，属于难题．