Question

已知函数为自然对数的底数）．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若是的一个极值点，且点，满足条件： ．

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）若点， 判断三点是否可以构成直角三角形？请说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2），可构成直角三角形

【解析】

试题分析：(1)利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）求函数极值的方法是：解方程．当时，（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；（3）证明垂直转化为数量积为0．

试题解析：（1）， ，又，所以曲线在

处的切线方程为，即． 2分

（2）（ⅰ）对于，定义域为．

当时，，，∴； 4分

当时，；

当时，，，∴ 6分

所以存在唯一的极值点，∴，则点为 8分

（ⅱ）若，则，与条件不符，

从而得．同理可得． 9分

若，则，与条件不符，从而得．由上可得点，，两两不重合． 10分

13分

从而，点，，可构成直角三角形． 14分

考点：1、求曲线的切线方程；2、函数极值的应用；3、能否构成直角三角形．