Question

(2014·成都模拟)已知函数f(x)=x2++alnx(x>0).

(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.

(2)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1,x2总有不等式[f(x1)+f(x2)]≥f成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“凹函数”.试证当a≤0时,f(x)为“凹函数”.

 

Answer 1

（1）a≥0 （2）见解析

【解析】(1)由f(x)=x2++alnx,

得f′(x)=2x-+.

因为函数为[1,+∞)上的单调增函数.

则f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,

即不等式2x-+≥0在[1,+∞)上恒成立.

即a≥-2x2在[1,+∞)上恒成立.

令φ(x)=-2x2,上述问题等价于a≥φ(x)max,而φ(x)=-2x2为[1,+∞)上的减函数,则φ(x)max=φ(1)=0,于是a≥0为所求.

(2)由f(x)=x2++alnx得

=(+)++(lnx1+lnx2)

=(+)++aln,

f=++aln,

而(+)≥[(+)+2x1x2]=,　①

又(x1+x2)2=(+)+2x1x2≥4x1x2,

所以≥.　②

因为≤,所以ln≤ln,

因为a≤0,所以aln≥aln,　③

由①②③得(+)++aln≥++aln,

即≥f,

从而由凹函数的定义可知a≤0时,函数f(x)为凹函数.