Question

12．在正项数列{a_n}中，a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），已知a₁=$\frac{1}{4}$，a₈=8a₅
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小项及其值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），可知数列{a_n}为等比数列，又a₈=8a₅，可求得其公比，而a₁=$\frac{1}{4}$，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-3，可求得数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（n-5）}{2}$，利用基本不等式即可求得数列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小项及其值．

解答 解：（1）∵在正项数列{a_n}中，a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），
∴数列{a_n}为等比数列，又a₈=8a₅，
∴公比q³=8，q=2，∵a₁=$\frac{1}{4}$，
∴a_n=$\frac{1}{4}$•2^n-1=2^n-3；
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-3，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{（-2+n-3）n}{2}$=$\frac{n（n-5）}{2}$，
∵$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$=$\frac{n-5}{2}$+$\frac{5}{2}$+$\frac{8}{n}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{16}{n}$）≥4（当且仅当n=$\frac{16}{n}$，即n=4时取“=”），
∴数列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小项为第四项，其值为4．

点评 本题考查数列的求和，考查等比数列的性质与通项公式的应用，考查基本不等式在数列中的运用，属于中档题．