Question

19．已知球的直径SC=4，A，B是该球面上的两点，∠AOB=90°，O为球心，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 证明SC⊥面ABO，利用V_S-ABC=V_C-OAB+V_S-OAB，求出棱锥S-ABC的体积．

解答 解：∵∠BSC=∠ASC=45°，且SC为直径，
∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．
∴BO⊥SC，AO⊥SC．
又AO∩BO=O，∴SC⊥面ABO．
∵A，B是该球面上的两点，∠AOB=90°，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}•2•2$=2，
∴V_S-ABC=V_C-OAB+V_S-OAB=$\frac{1}{3}$•S_△OAB•（SO+OC）=$\frac{1}{3}$×2×4=$\frac{8}{3}$，
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，考查棱锥S-ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．