Question

已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，S_n为前n项和，a₅和a₇的等差中项为11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a6=a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d) d≠0

，由此能求出a_n及S_n．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}为公差不为0的等差数列，
S_n为前n项和，a₅和a₇的等差中项为11，且a₂•a₅=a₁•a₁₄．
∴

a6=a1+5d=11 (a1+d)(a1+4d)=a1(a1+13d) d≠0

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
S_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²．
（Ⅱ）b_n=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．