Question

19．在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=4，则该三棱柱外接球的表面积为24π．

Answer 1

分析 根据题意判断直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积

解答 解：
∵在直三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=4，
∴AB⊥面BCC₁B₁，
即AB⊥BC
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成正四棱柱，
则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为R=$\frac{\sqrt{4+4+16}}{2}$=$\sqrt{6}$，
表面积为24π．
故答案为：24π．

点评 在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，我们通常有如下办法：①构造三角形，解三角形求出R；②找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；③将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R