Question

20．已知O是坐标原点，点A（-$\frac{1}{3}$，2），若点M（x，y）为平面区域$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$上的一个动点，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的最小值是1．

Answer 1

分析 由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$的坐标，把|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|转化为可行域内的点M（x，y）到定点N（$\frac{1}{3}$，-2）的距离，数形结合可得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$作平面区域如图，

∵A（-$\frac{1}{3}$，2），M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$=（-$\frac{1}{3}$，2）+（x，y）=（x-$\frac{1}{3}$，y+2），
则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y+2）^{2}}$．
要使|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|最小，则可行域内的点M（x，y）到定点N（$\frac{1}{3}$，-2）的距离最小．
由图可知，当N到直线BC的距离最小，所求最小值是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．