Question

已知向量

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(cos2x，-cos2x)
（1）若x∈(

7π

24

，

5π

12

)，

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，求cos4x；
（2）设△ABC的三边a，b，c满足b²=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且仅有一个实数根，求m的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（I）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)=-

3

5

，结合同角三角函数的关系算出cos(4x-

π

6

)=-

4

5

，再进行配角4x=(4x-

π

6

)+

π

6

，利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小．
（II）根据余弦定理与基本不等式算出cosB≥

1

2

，从而可得B∈(0，

π

3

]，即函数y=

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)的定义域为(0，

π

3

]．再利用正弦函数的图象研究y=sin(4x-

π

6

)的单调性，可得当x=

π

6

或

π

3

时，有唯一的x与y=sin(4x-

π

6

)对应，由此即可得到满足条件的实数m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

=(

3

sin2x，cos2x)，

b

=(cos2x，-cos2x)
∴

a

•

b

=

3

sin2xcos2x-cos22x=

3

2

sin4x-

1+cos4x

2

=

3

2

sin4x-

1

2

cos4x-

1

2

=sin(4x-

π

6

)-

1

2

又∵

a

•

b

+

1

2

=-

3

5

，
∴sin(4x-

π

6

)=-

3

5

；
由于x∈(

7π

24

，

5π

12

)，
可得4x-

π

6

∈(π，

3π

2

)，
∴cos(4x-

π

6

)=-

1-sin2(4x- π 6 )

=-

4

5

，
由此可得：cos4x=cos[(4x-

π

6

)+

π

6

]
=cos(4x-

π

6

)cos

π

6

-sin(4x-

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

-(-

3

5

)×

1

2

=

3-4 3

10

；
（Ⅱ）∵b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵B是三角形的内角，
∴B∈(0，

π

3

]，即x∈(0，

π

3

]
由（I）可得

a

•

b

+

1

2

=sin(4x-

π

6

)，
∵由x∈(0，

π

3

]，可得4x-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(4x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
当x∈（0，

π

6

]时，y=sin(4x-

π

6

)为单调增函数；
当x∈（

π

6

，

π

3

]时，y=sin(4x-

π

6

)为单调减函数．
当x=

π

6

时，y=sin(4x-

π

6

)=1；
当x=

π

3

时，y=sin(4x-

π

6

)=-

1

2

，此时只有一个x与y=sin(4x-

π

6

)对应，
即直线y=m和y=sin(4x-

π

6

)有一个公共点．
∴若关于x的方程

a

•

b

+

1

2

=m有且仅有一个实数根，实数m的值为1或-

1

2

．

点评：本题以向量的数量积运算为载体，考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．同时考查了函数与方程、数列结合与转化化归等数学思想，解题时要注意灵活运用所学的知识．