Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-

x

2

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=log₄[1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa]，n≥2，n∈N，对任意x∈（-∞，1]有意义，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用奇偶函数的定义判断f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅱ）只要m≥f（x）的最小值即可；求f（x）的最小值；
（Ⅲ）由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0得到a＜(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x恒成立，可知yi=(

i

n

)x，i=1，2…n-1，是减函数，得到y=(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x也是减函数，求其最小值，只要a小于其最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）是偶函数，
∵f（-x）=log₄（4^-x+1）+

x

2

=log₄

1+4x

4x

+

x

2

=log₄（4^x+1）-

x

2

=f（x）．
故f（x）是偶函数．
（Ⅱ）∵f（x）-m=0∴m=f（x）=log₄（4^x+1）-

x

2

=log₄（4^x+1）-log₄2^x=log₄（2x+

1

2x

），又2x+

1

2x

=(

2x

-

1

2x

)2+2≥2，∴m≥

1

2

；
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

1

2

．
（Ⅲ）由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0
知a＜(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x恒成立
又∵yi=(

i

n

)x，i=1，2…n-1，是减函数，
∴y=(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x也是减函数，
∴在区间（-∞，1]上有ymin=

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n-1

n

=

n-1

2

＞a，
∴a的取值范围是（-∞，

n-1

2

）．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及方程根与函数零点的关系，同时考查了恒成立问题，属于难题．