Question

17．△ABC中，若BC=4，cosB=$\frac{1}{4}$，则sinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最小值为：-$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据同角的三角形函数即可求出sinB，
方法一：由条件利用两个向量的数量积的定义、二次函数的性质，求得要求式子的最小值．
方法二：由余弦定理求出b，再利用两个向量的数量积的定义、二次函数的性质，求得要求式子的最小值．

解答 解：∵△ABC中，cosB=$\frac{1}{4}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
方法一：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）=c²+4c×（-$\frac{1}{4}$）=c²-c=（c-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
方法二：由余弦定理b²=c²+16-2×4×$\frac{1}{4}$c=c²-2c+16，
所以$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{1}{2}$（b²+c²-16）=c²-c=（c-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最小值为：$-\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，$-\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算、二次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．