Question

20．给出函数y=lg（ax²+3x+4）
（1）若其值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若其定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）本题中函数y=lg（ax²+3x+4）的值域为R故内层函数ax²+3x+4的值域要取遍全体正实数，当a=0时符合条件，当a＞0时，可由△≥0保障 y=lg（ax²+3x+4）的内层函数ax²+3x+4的值域能取遍全体正实数，故解题思路明了．
（2）函数y=lg（ax²+3x+4）的定义域为R，从而ax²+3x+4＞0的解集为R，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数y=lg（ax²+3x+4）的值域为R，
∴t=ax²+3x+4的值域要取遍全体正实数，
当a=0时符合条件，故a=0可取；
当a＞0时，△=9-16a≥0，解得a≤$\frac{9}{16}$，故0＜a≤$\frac{9}{16}$，
综上知 实数a的取值范围是[0，$\frac{9}{16}$]，
（2）∵函数y=lg（ax²+3x+4）的定义域为R，
∴ax²+3x+4＞0的解集为R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=9-16a＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{9}{16}$．
∴实数a的取值范围是（$\frac{9}{16}$，+∞）．

点评 本题考点是对数函数的值域与最值，考查对数函数的定义其定义域为全体实数的等价条件的理解，本题是一个易错题，应依据定义厘清转化的依据