Question

16．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=4，S₅=30．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试判断数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是什么数列？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的性质求出数列的公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}的通项公式，然后判断数列．

解答 解：（Ⅰ）等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=4，S₅=30．可得5a₃=30，解得a₃=6，
数列的公差为：d=2．
数列{a_n}的通项公式：a_n=a₃+（n-3）d=6+（n-3）×2=2n．
（Ⅱ）S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+n，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{2n}$=$\frac{n+1}{2}$
可得$\frac{{S}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{2}-\frac{n+1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
所以数列{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列．

点评 本题考查数列的性质的应用，等差数列的判断，考查计算能力．