Question

7．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知两个正数m，n满足m²+n²=a，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求出a的值；
（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x|≥|x+1-x|=1，
∴f（x）的最小值a=1．                               …（4分）
（2）由（1）知m²+n²=1≥2mn，得mn≤$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$≥2$\sqrt{\frac{1}{mn}}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当m=n=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．…（11分）
所以$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为2$\sqrt{2}$．                         …（12分）

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．