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若不等式(-1)n-1(2a-1)＜()n对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是___________.

答案：()  【解析】本题考查恒成立问题的解决办法——分离变量求最值.当n是奇数时,2a-1＜()n,∴a＜对一切正奇数n恒成立,当n=1时;当n=1时,max=;

∴a＜;当n是偶数时,1-2a＜()n,∴a＞对一切正偶数n恒成立,当n=2时,max=,∴a＞,∴＜a＜.

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已知函数f(x)=ln2(1+x)-
x2
1+x
．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式(1+
1
n
)n+a≤e对任意的n∈N*都成立（其中e是自然对数的底数）．求a的最大值．
已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（1）证明：对任意x＞-1，有f（x）≤g（x）成立；
（2）若不等式(1+
1
n
)n+a≤e对任意的n∈N*都成立（其中e为自然对数的底数），求a的最大值．
（2012•丰台区一模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1．数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=8an．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{
bn
2n
}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Tn，是否存在常数λ，使得不等式(-1)nλ＜1+
Tn-6
Tn+1-6
（n∈N*）恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
若不等式(-1)n-1(2a-1)＜()n对一切正整数n恒成立，则实数a的取值范围是___________.

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