Question

某人从林荫中街乘车去天府广场，若途经各路口遇红灯都是独立的，且在同一路段最多一个红灯，概率如图所示，
（1）请设计一条由林荫中街到天府广场的路线，使得途中遇见红灯概率最小．
（2）若记路线：林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的个数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）因为途经各路口遇红灯事件都是独立的，且在同一路口遇红灯事件最多只有一次，所以线路林荫中街--新南门--盐市口--天府广场中遇到红灯的概率P₁可以做出，路线林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的概率，路线林荫中街--林荫街--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的概率，进行比较得到结果．
（2）路线：林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的个数ξ可取0，1，2，3，结合变量对应的事件，写出变量的分布列和期望．

解答：解：线路林荫中街--新南门--盐市口--天府广场中遇到红灯的概率P₁为：

P₁=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

…（2分）
同理：路线林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的概率P₂为：
P₂=1-

9

10

×

17

20

×

11

12

=

239

800

（小于

3

10

）…（4分）
同理：路线林荫中街--林荫街--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的概率P₃=

91

300

（大于

3

10

）．
所以选择路线林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场遇红灯的概率最小．…（6分）
（2）路线：林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的个数ξ可取0，1，2，3；
P（ξ=0）=

561

800

，
P（ξ=1）=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（ξ=2）=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（ξ=3）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴Eξ=1×

637

2400

+2×

77

2400

+3×

3

2400

=

1

3

 …（9分）         
答：路线林荫中街--新南门--锦江宾馆--天府广场中遇到红灯的个数的数学期望是

1

3

…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望问题，以及相互独立事件同时发生的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．