Question

16．已知实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{2x-y+1≥0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}}\right.$，则x+3y的最大值为10．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{2x-y+1≥0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z经过点B时，直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（1，3），
代入目标函数z=x+3y得z=1+3×3=10
故答案为：10．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．