Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，Q为AD中点，AD=4，PD=6．
（Ⅰ）若点M在线段PC上，且PM=tPC（t＞0），试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB；
（Ⅱ）当三棱锥M-BQD的体积为2

3

时，试求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连AC交BQ于N，交BD于O，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根据三角形相似，即可得到结论．
（Ⅱ）由S_△BDQ=

1

2

×BQ×DQ=2

3

，设M到平面BDQ的距离为h，由VM-BQD=

1

3

×h×S△BDQ=

2 3

3

h=2

3

，得h=3，从而M是PC的中点，取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答： 解：（Ⅰ）当t=

1

3

时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=

3

3

a，AC=

3

a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

，
即：PM=

1

3

PC，t=

1

3

．
（Ⅱ）∵底面ABCD为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，
Q为AD中点，AD=4，PD=6，
∴S_△BDQ=

1

2

×BQ×DQ=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
∵三棱锥M-BQD的体积为2

3

，设M到平面BDQ的距离为h，
∴VM-BQD=

1

3

×h×S△BDQ=

2 3

3

h=2

3

，
解得h=3，∴M是PC的中点，
取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DP为z轴，
建立空间直角坐标系，
Q（2，0，0），M（-1，

3

，3），B（2，

3

，0），

QM

=（-3，

3

，3），

QB

=（0，

3

，0），
设平面BQM的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • QM =-3x+ 3 y+3z=0 n • QB = 3 y=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，1），
平面BQC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角M-BQ-C的平面角为θ，
cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

1

2

=

2

2

，∴θ=45°．
∴二面角M-BQ-C的大小为45°．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，空间向量、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．