Question

6．等腰直角△ABC的直角顶点为B，两条直角边长都为1，点P为三角形所在平面内的一点，若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，且|$\overrightarrow{AP}$|=1，则λ的取值范围为（　　）

• A． [-1，$\sqrt{2}$]
• B． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． [-$\sqrt{2}$，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，从而写出$\overrightarrow{AP}$=（cosa，sina），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，1），从而可得（cosa，sina）=（λ+μ，μ），从而解得．

解答 解：建立如图所示平面直角坐标系，
故A（0，0），B（1，0），C（1，1），P（cosa，sina），
$\overrightarrow{AP}$=（cosa，sina），$\overrightarrow{AB}$=（1，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，1），
∵$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}$+$μ\overrightarrow{AC}$，
∴（cosa，sina）=λ（1，0）+μ（1，1），
即（cosa，sina）=（λ+μ，μ），
故λ+μ=cosa，μ=sina，
故λ=cosa-sina=$\sqrt{2}$cos（a+$\frac{π}{4}$），
故-$\sqrt{2}$≤λ≤$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了平面向量坐标表示的应用及三角函数的化简与运算的应用，同时考查了数形结合的思想应用．